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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 (&,x.)wB  
#`#b  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. HZ+GwS<N}  
X}P`TcQE0  
　　1、三角函数本质： V-@f6j|{t  
"WUUlqXW5,  
　　三角函数的本质来源于定义 3{-07s9  
W3<ZOGL!  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Qf%m0j@s  
] OG6N>&?  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 TdGQ^tM  
:"X@iiw  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： -w^KE/ p;  
} BrJk%  
　　推导： fjSu<pQJ  
aer7 |FWS  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 +=9HT   
VKh'aj7p#  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) O+,wV8A B  
L7T<yK-  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) pC$pc'5s  
oAoD FqA  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 r>z%WT 1  
<@Enon|7nY  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） #)n}z*  
od#:n  
　　[1] "^*he.4a`Y  
0|;:$Ga3{  
　　两角和公式 < CDSKYH'  
^jAV.|X  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB N)  ,Tz)  
eUbH"):  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  `9aYzsd  
Q_4Cs1lv  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB X,:/fZG  
qK[),=oa}  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 6b1HLtCA(M  
7IqFuDR'P5  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) Q}k7 cvigc  
cL~ paqY  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 44]tZYV*S4  
;. 2Yd  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  \&++":VPY6  
#X8c1tNT'  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 5dy pX3S  
I]vzgp5 #  
倍角公式 U=vl:`,p#  
s,bm="  
　　Sin2A=2SinA•CosA {6^d  
cnCR9r{0Kg  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 2H]F*9F2  
[wulnCZv#r  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ,Gov(  
BHnVCQ`f  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） cg 0 D% #  
j[rVNh5k)  
三倍角公式 F l9f$:-  
-/T8n]y  
　　 /Kldpg{v  
/.V;YMbU  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ,:14Ay",  
Z/|Vr[T  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) FY&Cl_1u  
v}:ra81n  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 9O}Q"cc7  
=zW= lm  
三倍角公式推导 bZOC?=&  
Q-}1s  
　　sin3a c=Qh ^:|V  
_MT72I,P  
　　=sin(2a+a) Cd Sl:1j  
q#r$\JK%   
　　=sin2acosa+cos2asina MTJ)0(>p  
~#K {"X\_  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina FNm'\sR[  
U<zsx0 ?Ch  
　　=3sina-4sin³a 0 ZG9b  
92^Y+#Qa  
　　cos3a h &U!':Z  
Ow5A5U<"&  
　　=cos(2a+a) N~#J<k)  
Uue3#rVc :  
　　=cos2acosa-sin2asina %zIPY; $  
Odi+t&f  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa {WU1 <FJ  
w-MzH<,  
　　=4cos³a-3cosa x UM{ 9hz  
-,K'" Yk  
　　sin3a=3sina-4sin³a }h<\ o[Rr  
f3vgIK  
　　=4sina(3/4-sin²a) (YIg<5  
}bNb,U|4  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] o2 1' GM1{  
.`n[#2n  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) h O_!'UG  
y Q_sf3CE  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) P9!]EN`A  
cj|, {_Vz  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ]M_'b(B  
'DX"&$  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) tyMxtr)W  
?!}^yp  
　　cos3a=4cos³a-3cosa SA 9<n"  
2W,kX $s  
　　=4cosa(cos²a-3/4) U*bbbtzw{  
l(;|N-q{F  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] D.|bUot  
CD7w zV  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) _3=<G^#  
K6*"[ ~uB  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) @B0Mga(Jb  
IK _Tn =  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} GEx~R"  
UNZVYLn@}  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) ] BTb<VMm  
B NAG3 Hg  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] <GGp&n&u  
*"E=9TiX!  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] (~&9 ,S  
a\? 3\zGZ  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) acy`8,6E  
JY%J ~'  
　　上述两式相比可得 CJD=px5.\  
?([W@Kr4K  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 0+tU7n=o%  
P/aq9Qk y  
半角公式 w:)9||K  
I1Fyd%I't  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ZXVdk{ Z  
u+32CgJ.  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. &dXtLR)  
ZIK0 i p  
和差化积 l65Ex^#S  
f;zXRRa  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] TX6<lpJJK  
|!oG'\  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ~jp>Y}enP  
%v}['R?   
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] b1D{vNU   
\<v"{ps7O  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ,ICka;  
'}MfIwW  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) bJ7l+F,S[  
avafs\&dJ  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) H/ /=-[a  
 X^=q>kff  
积化和差  u4'hop  
w`},!K0  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] DHr;fR=nzZ  
*/n:C?Q7A  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] `v8qXK"  
E_abQ@B  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] KK<t9  
svS fO|{sH  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ?Vj^Sj/I=b  
5Aj  
诱导公式 St|7;]dw%B  
w9T=c%y!(z  
　　sin(-α) = -sinα gI)I|mBjD  
j1*P\zi z  
　　cos(-α) = cosα q#<! JK  
kANeQ7  
　　sin(π/2-α) = cosα M][kMm  
$P^c$zPAv  
　　cos(π/2-α) = sinα }ji!\("<-  
^"{e862}  
　　sin(π/2+α) = cosα }X8G5st   
n B4Li{t%  
　　cos(π/2+α) = -sinα 82BQn  
X(BMI /*  
　　sin(π-α) = sinα ?C5?z* ,  
<pmyB2q 9K  
　　cos(π-α) = -cosα _!&1V|G  
0P,/k  
　　sin(π+α) = -sinα <DTUFxZB^{  
f&a6 nM  
　　cos(π+α) = -cosα [G-|~+1  
]([B+DXM  
　　tanA= sinA/cosA "[`b*?;  
wg)mi|tHn6  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ),pT  
>&rO|R  
　　tan（π/2－α）＝cotα `"G:#=2A  
Cl%V_sD  
　　tan（π－α）＝－tanα WqO-;?Ec  
&U7TGM   
　　tan（π＋α）＝tanα !1$ZdE$MSL  
{Y7&\VY  
万能公式 ;khSBg:z C  
()k<2H\tL  
　　 *CT"=e  
~[qJM:5@  
其它公式 ]BEywn7*E  
S1,?*0dlZ  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 FjW\;fb-h  
sR4[;Z ;  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 cVD^h@H&.  
^w7Ng\w  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 p)j}a -  
miC!b I9  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Km`n/'O"{  
pQ9raKL  
　　对于任意非直角三角形,总有 ..cxKk3T  
NE(SH m4  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC +;F3#Ue*  
e6sG3gzL  
　　证: k~;q\ir  
ZP"Sj9y*m  
　　A+B=π-C %2"SB[  
7''5P(%K  
　　tan(A+B)=tan(π-C) @u>Q"F4Q  
DgplT?ll7Q  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)  @{ItE  
t8 Prt{=  
　　整理可得 nzQ[J1?5-u  
}.+o=>=c*4  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC [VPUP^0Y  
>{@IbM?/&  
　　得证 v8jt +S  
)1<jPE  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 "ApC_:,  
-t;1I ;$  
其他非重点三角函数 @\$ASJtv  
k>/\kVw  
　　csc(a) = 1/sin(a) 1R E OAh  
8YqLoIzM6  
　　sec(a) = 1/cos(a) T( E@ |kVp  
a%--km]H^V  
　　 Ne'pp`|  
92@ {#v  
双曲函数 mK,<L NQ  
gzAJzO [H  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 k5F_2?pp  
Orw<5  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 G^f*D2",  
n@Uzg}<qc  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ht1jq%gs+  
Td`CoCDdS  
　　公式一： 4 tB   
C_pNom~f  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： :lWcB^a  
N|6Jgf  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 7^>T b*  
T|ok/5C  
　　cos（2kπ＋α）= cosα NZ.(x`/I+  
Q :1`|c  
　　tan（kπ＋α）= tanα >E@C  
`7&86>F{o  
　　cot（kπ＋α）= cotα 8fZz ~~  
mz~zqIZ,c  
　　公式二： `{A(cY  
k(@z  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： {<BzZg  
*Lzx+A  
　　sin（π＋α）= -sinα ;V`q";wo4  
RV4*Xx%o  
　　cos（π＋α）= -cosα "? C22C>M  
6N?!/3Fa  
　　tan（π＋α）= tanα yBo:C/8  
:PMDqxo  
　　cot（π＋α）= cotα zE_l<)n  
f]& 4w:  
　　公式三： 'AVMm+|F  
x4\uphQ<  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： AY"a=gYMS  
V[Wb,yi`  
　　sin（-α）= -sinα =eZ3{Gb  
xrzQk_7L_  
　　cos（-α）= cosα VkAfm7pC  
*]u),>^W=1  
　　tan（-α）= -tanα _U#aKU{62K  
xLkO lx  
　　cot（-α）= -cotα O&Dw<R4}5K  
;2gW=7 L  
　　公式四： x: QV<=@0  
-(*HNHY  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ,^GKXa f]  
 ep .zM  
　　sin（π-α）= sinα w!qT*A  
v@*IUc_InH  
　　cos（π-α）= -cosα w?"s-3f8`  
Rd"Q&9z w  
　　tan（π-α）= -tanα 1((&7MZQ)U  
X}B`y?)  
　　cot（π-α）= -cotα FNXN\g  
'GM7\2M  
　　公式五： / t[n%'^  
jG&`H[,&x  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： bgs |6v  
E(? a)ei  
　　sin（2π-α）= -sinα 5#g}6  
*K!O&:`-  
　　cos（2π-α）= cosα -_dBy6o/  
\.Pk8nz@/  
　　tan（2π-α）= -tanα r:pYQcj["  
%/-{H5<%)  
　　cot（2π-α）= -cotα \v*oF. {  
r7!Gb]3!  
　　公式六： B%{.IyL0  
"~Hoa}k`  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： p'(&o'+K  
Wy<!b \F  
　　sin（π/2+α）= cosα XKNx (|  
qK)]z|v8  
　　cos（π/2+α）= -sinα ||E*R<  
)Hv>cr  
　　tan（π/2+α）= -cotα fy&5w%N/  
=F-UA  
　　cot（π/2+α）= -tanα t8xq>^  
;v]j.. 2  
　　sin（π/2-α）= cosα /(w" @G)3  
 ~ d<DYK  
　　cos（π/2-α）= sinα |Hq\ek.}  
UWw4(m>  
　　tan（π/2-α）= cotα p64d]B  
(TX-:   
　　cot（π/2-α）= tanα Q?| !731  
aCE_7Gd  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 8r$;TXO  
 >4&3VJ3  
　　cos（3π/2+α）= sinα AT &B L  
p"oEWBvddA  
　　tan（3π/2+α）= -cotα _o<JPg4  
SAH9,N:u  
　　cot（3π/2+α）= -tanα y$EfN7nQ"  
d[.!m{xc  
　　sin（3π/2-α）= -cosα GeG8^FgRu  
zV8 wM[_>  
　　cos（3π/2-α）= -sinα }Pp20j"N+v  
 _tFl49  
　　tan（3π/2-α）= cotα F$-a rq  
yqV7wKe  
　　cot（3π/2-α）= tanα ?(V_lTwq}M  
&vfC%5drP  
　　(以上k∈Z) N.6,2 h  
: :+PwX,  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 .?&O ~  
$o~n >A'  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = X/J>~ !xA  
\1LH[Nuf  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } \?PA3%D3  
G ~N%*H  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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