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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 >6^ (~i  
Gs'r]^WqO  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. oOmRf;6^  
XdV; :I8  
　　1、三角函数本质： %|/5p QJ"  
6@R)WQ  
　　三角函数的本质来源于定义 yP jLWNO  
}6{+;AeJ  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 ;vu;:p_\v  
+!f7.|U1  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 YU\ lRv  
%LD(|,mfd  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： :zl|Dh-$  
[v_?^e)v  
　　推导： ;ZZmz% 0  
V \|=+qL  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 <<_2<Nq<8  
eiWD'qON3  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) qr|Sh .es  
Nqz30Wt  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) "<IbSTvh  
d0 krC1$D  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 dX.XY=DcO  
1J6`ltDP]  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 3stkv/#]9  
lm.w6#L  
　　[1] `; 0 N.F  
3B&_X,E-J6  
　　两角和公式 y.;xYB_"E  
z}5h\jv  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB nLVCV  
VBQmeh@J  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  #k6q!6Z  
.{YQZjt"`  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 7%SM")mVV/  
T`B/8- F  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB MI4H l*z(  
4xAVR  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) Z '!>F2 Y  
@*Gl: 3  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) Ud{LIMc-  
k_~y"Y!X  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  g[3NX;jI%  
XqHJ$No#  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ok%D^  
XO ?/ #  
倍角公式 :E\L'NE [  
MSa pY_1  
　　Sin2A=2SinA•CosA X0g@l{}  
TQ1Y8.7k  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 &_9).iwP_  
o);0TO:\!  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 5F7Ym  
o`*AYKI  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） jZ(Fm$00#  
QAx M=?  
三倍角公式 : ={<W1&i*  
gIPn +t*7  
　　 . fx9%7(  
67?8>r7O  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) `Di"u04 L  
c"Q:=UR=^  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ('QU5m cu.  
 5TP( v  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) k:P] 3#  
%4kA: Cv  
三倍角公式推导 z _2b2O  
2 k4ov\f  
　　sin3a =\2U1(zGK  
z|kC}C  
　　=sin(2a+a) yx` |  
m3 YZLML@  
　　=sin2acosa+cos2asina Q~.W(a  
40H:k5Tq   
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina -ddU 1eQd  
J[%P(7\  
　　=3sina-4sin³a Q\RK{h@Yg  
]%,4sh  
　　cos3a v|#tm+D  
YCq8^j,  
　　=cos(2a+a) 2 uAGJA~O  
Q6xplBd(  
　　=cos2acosa-sin2asina DURKz]99  
mMQ^Y~  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa lr_u8  
.Y fB u  
　　=4cos³a-3cosa 8S@}{Ih  
)|xgd+$}  
　　sin3a=3sina-4sin³a X(Xm9:U)W  
^s@%s$8  
　　=4sina(3/4-sin²a) LSaWVRa/A  
S>VO-#NENh  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] R}U)I0>   
Q]H U]!3  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ]Lc*rMy8  
 B 82{Q  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)  ~|  
%*4JoBSI7  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] G<ciR|R  
XPC(R\ xb  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) e F`U$WPq  
[5Gh2X:Wgp  
　　cos3a=4cos³a-3cosa Zm~s8b(m7  
a?cX[TomF  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 1?2f~XVD  
w*s"{;K$  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ^$vS~RLP%  
H3CaDlX  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) {esh}dXK-=  
fyb2_=  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) +<mb #  
(g$/[v$G7  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Z9,y<R   
YYTj]i9Vc  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) LL`]n)QP  
Y5n lOsY~y  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] N Bs7ov0yF  
N%6"Qia  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] B;Ro'y):)  
fP1$5~ {  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) R 3y 3:  
pO|u/mJ  
　　上述两式相比可得 @` v2H6"  
VL 3l9r5  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) x/Fd qN  
dXlk? >o  
半角公式 ]OmF}m {   
g_LuFIS  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Mj4*#$8Pp  
6KJ?"Z*y  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. UrYr$%  
K  hvJ>  
和差化积 GdV&\  
^-NiW42  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] W[9Hw*nj9  
-Juuy|A%N  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] #Gx18\LMlt  
wT_fA[00  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] }m%xVs)F  
c*mf3zi_  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] znG[q[F/  
6f% '3mim^  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) A~g Kz a  
ono [t  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) {h3?iY/p?%  
W asPYL-3  
积化和差 =97{@F  
1 TN3"##  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] N_NMzG^|  
vVqZT"F  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] FJBgsWg  
6GY7ps_  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] /6l5m1]  
!y77 XR97w  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] zgH&h7_l^  
GJ?n'#  
诱导公式 P*6!py v1v  
L=%1&u4np  
　　sin(-α) = -sinα SQ ? zu^  
'=30z]!'{V  
　　cos(-α) = cosα kH-n\T7Ua  
. Ydu(uiy*  
　　sin(π/2-α) = cosα k,rn'1lS8  
hk GI3~  
　　cos(π/2-α) = sinα ucz(PF-z  
0DK Yd03K  
　　sin(π/2+α) = cosα 0`g="_l  
g8Ab2+2  
　　cos(π/2+α) = -sinα NLZ,<<H  
TKO2_<Sw^  
　　sin(π-α) = sinα CDgk}H802^  
s%Vgo;4qZ  
　　cos(π-α) = -cosα w+g[)A  
~=u}v9|A%g  
　　sin(π+α) = -sinα s0I-!h  
XjxTN  
　　cos(π+α) = -cosα =u>.}~"P  
BPz5T 5siB  
　　tanA= sinA/cosA "C!Yo eZ<  
jtcQ4[P""  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα s{G!i}X Q  
iY9 rk#`#  
　　tan（π/2－α）＝cotα k.ios\  
*q`8a}$-  
　　tan（π－α）＝－tanα vx"1cjf$  
r) T<h`;?  
　　tan（π＋α）＝tanα yqH6O'.A  
6-1w\+2w  
万能公式 %g,;a  
+[w<.Pgc  
　　 9pC*Q/h8y2  
Cv$g}JMR  
其它公式 (>ODi $$  
<+cNvP<  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 3R4sK[H&$  
:y3[#dk1  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 31; VCod  
Yg ~U)\/  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 AGV/8. SH  
QjN#BL#=:  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 +aZ20W  
Ktv}Am N1  
　　对于任意非直角三角形,总有 80}LZ :yk,  
d_Gwi0!  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC "`c;jm'  
 Bv Ph  
　　证: A@fm?ld  
TLx`luDY^  
　　A+B=π-C d-^ZA W"!J  
[l[ucj} ug  
　　tan(A+B)=tan(π-C) I8?#|V#w  
S82]I  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) {3@<+3  
H~3Aux|  
　　整理可得 ?YFzvp@h  
7~_kmu!yx  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC >BiWJ@<  
;WkA#0e5_  
　　得证 <>Gx##lB]r  
X6+L7 *b  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 9f[d(pp  
]HnnUA  
其他非重点三角函数 HdIUt&  
h;qgj89  
　　csc(a) = 1/sin(a) t1-BI/2X  
p9rPrX$ 3  
　　sec(a) = 1/cos(a) e Fc>%@r  
#MzjSt5 z^  
　　 w`jY"y  
NnLSW7St  
双曲函数 &7mT^#9  
NlF\^Y  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 L<S#$O+ ^  
VX,yI}dLW  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 D+*wbbsx  
dhhl%{e8$  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) al~<  
t F5gd(F  
　　公式一： KpIRb3/m<  
s^(/w@Uv#  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： $2tnE'Jk  
O~5BB"YI  
　　sin（2kπ＋α）= sinα By^Y0_R  
Z_t*9P# *  
　　cos（2kπ＋α）= cosα :$P_eWm  
^'skHY,  
　　tan（kπ＋α）= tanα ]nd,4 k  
f3 Y G2cF0  
　　cot（kπ＋α）= cotα (ea=#!q  
G**Ar  
　　公式二： tZ>MVT)O  
D J cUL[  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： scz]YdMd  
_!b:zgeJ  
　　sin（π＋α）= -sinα Dt$t_/ v  
-x} ]z_  
　　cos（π＋α）= -cosα J2 5BTp05  
Z'XH+t  
　　tan（π＋α）= tanα I2uLVtc|p  
=']Tim  
　　cot（π＋α）= cotα WIYS~Q'Wc  
M8",N}9  
　　公式三： 072, k$A$  
D\=\Y n&  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： bW"efdr  
' ;EZKEv  
　　sin（-α）= -sinα %u26BkqP  
.r+MQ{sR  
　　cos（-α）= cosα O~8sn& 1  
#A1{Pd4Y]z  
　　tan（-α）= -tanα {ch-UqO  
5 )u;D>  
　　cot（-α）= -cotα S1P '~)/  
t*G>e8  
　　公式四： -b6Z4%F/N  
d`D&LVw  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： O<2p H  
Qsg2x`~  
　　sin（π-α）= sinα Yz^EGk"  
8 L:^ip  
　　cos（π-α）= -cosα F){b~El  
ei ~DGa  
　　tan（π-α）= -tanα ]fcbSqS1  
bc11}f  
　　cot（π-α）= -cotα <2;e?D`N  
#D }"!z=.  
　　公式五： qH"g8j#Z0]  
@C G$0  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 5+.R  
5'`c b]  
　　sin（2π-α）= -sinα `.vrHd}  
uO3A[;><  
　　cos（2π-α）= cosα 3N_P)Ibs  
qeuX 2m  
　　tan（2π-α）= -tanα ]$2=nYk2  
ULfx',,  
　　cot（2π-α）= -cotα NL*/WNe  
jv_'GZ*  
　　公式六： uj{=n2\T  
RN~>]M!gx8  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： Of[N%zao_  
Zk*bl  
　　sin（π/2+α）= cosα BP)e3Pys  
,P\Cu!tO'"  
　　cos（π/2+α）= -sinα xDG\#Dj0  
;gFsYB~2>  
　　tan（π/2+α）= -cotα Ki#7vMLc 9  
=vD$t63  
　　cot（π/2+α）= -tanα -u/lp#N  
5\::ENSs  
　　sin（π/2-α）= cosα V9(*Mi,  
cz\L0i&  
　　cos（π/2-α）= sinα nTsv#!  
[" {TVbs  
　　tan（π/2-α）= cotα KDq9@0  
e|aU`4[hd  
　　cot（π/2-α）= tanα D=d9s5R  
m})D6  
　　sin（3π/2+α）= -cosα k<^)h2<`  
792f?Y ?  
　　cos（3π/2+α）= sinα GG}k<scx  
g:[Ad0={  
　　tan（3π/2+α）= -cotα i=@zS!!y0  
T\ ,+}\  
　　cot（3π/2+α）= -tanα W([>G'  
F)IeQG`  
　　sin（3π/2-α）= -cosα SG5O>p,52  
@DL_P-) y  
　　cos（3π/2-α）= -sinα #s ~gU{uz  
YPN"2pG  
　　tan（3π/2-α）= cotα w05&gg9  
Y3AC{$p5  
　　cot（3π/2-α）= tanα |wnW$j6  
N(q5F *(  
　　(以上k∈Z) -b/Z4+H}  
 MBr]   
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 'O&8hkvx3  
F&yJPg1E  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = oJJTC6  
J 8 K :IP  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 5@@Ml=$(0  
 iiyLVhJ  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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