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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 lP)Sf34  
p]7]AiCT  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. EVxV*o5  
:tqi'5  
　　1、三角函数本质： 'kE;<p=^  
9X:}_-[.  
　　三角函数的本质来源于定义 ;3y+/e^o'M  
,U&DK9R  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 AD3(2  
h')Iid%9]  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 gjv[e[d  
ikcp[E4  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Oyjt,\+  
]'H8 P  
　　推导： 9!l}d)  
ZOtV62"p/  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 v&W91  
5 ,d^m\`"  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) m).x>  a  
@!vVd.3)  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) YviBAW^ F|  
>e4N\  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 /37vYc  
PJt`p"R  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） u2b&{Nk&W  
hh?P/  
　　[1] !4b[6}k49  
i'rnic  
　　两角和公式 WL?= &q"!  
U8K*_dVS  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB #kh%E{  
pgI:5?0|  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  BrvTf0e8  
sV76iT?  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB  @:fxBnL  
+47bnMt0F  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB I!jHK6a-  
]Rvx_(Z  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) }<Px  
HMt uz M  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ET)(HR{  
aG#^/eL  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  z`*"+H  
R8C\8W  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) o`.=i0]B  
DArUuVvH  
倍角公式  0ZN#UTXd  
H oxess74  
　　Sin2A=2SinA•CosA pRu$5[)7a  
1D};*{FD  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 p#*(W~M=  
~n^Hxwz  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） xa< K[  
~,[Rx, 1B  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 2LQF2%uY 2  
7!fW9[  
三倍角公式 {e#GKG  
`ivy9o^Y  
　　 An*GSq\  
J K!;_X  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) `1K~X!  
^_?85_"(  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) DN_>2d+lS  
Geql j  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) R^5)PbrZ  
)y,D2Y ns  
三倍角公式推导 {t9=v&: .  
2f6UL{ |*  
　　sin3a (5vLrs:2p  
>DR c}[I  
　　=sin(2a+a) =Aui:,z  
D jL[LL5!  
　　=sin2acosa+cos2asina o Sep";&P  
>xOBbi)u  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina F-Uk gbo-  
Z'Y8h)@ Kf  
　　=3sina-4sin³a XU1Z2V WM%  
#?wBP 2J  
　　cos3a w#FPqQvl  
V:Z sNm  
　　=cos(2a+a) l09\G?c  
Uq =F&1  
　　=cos2acosa-sin2asina 25t6;G\UN  
I)}MsE  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa kpDHFL6s  
&1WJ-MM  
　　=4cos³a-3cosa q"9- [U1  
rH^.+n   
　　sin3a=3sina-4sin³a d pNu-EVb  
^)@ O&3lOv  
　　=4sina(3/4-sin²a) XFwS^'^  
oJ}Z"  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] te SKP%  
VL?r.p5  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ~Hi$iQ  
99M${i  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) %@N|fo,q  
m*XqQwi`Z  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] #o +)i, }  
5o'o4 |li  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)  f[!38][  
vp,X[{W  
　　cos3a=4cos³a-3cosa "6feU_Z'  
E<m>iM  
　　=4cosa(cos²a-3/4) -|i1D9r  
oZKG|/Bpx  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] HnHvD+-*  
X$MoP@62  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) p^aQF?dqH  
:);p|Cg  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ke+!:~t  
^JO&kWXy  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ]"5p<R9EB  
*m@ 9]g9j#  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) e8 2!Q<LS  
:/*Qpc%S)-  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] S< &ID  
%l5z+_  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] IfaP$}Ct  
'`{1?!Pv  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) *Hl~U2_Y[  
g5q49X;l  
　　上述两式相比可得 . &2 }`E[  
z0EFrrh^F  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) h{" T^9  
Na<S~SHD]  
半角公式 =qN'r.Z>j  
\UPV: 5D  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); S4SxtOdM  
lwd')/eO{  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. Vste=20>  
~eY5`a(Ah  
和差化积 IA*W"ccW2  
"x& !63OM  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] f)elz_]Q  
K pQ!$1  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] xcMD0#)ol`  
'8lh;8  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] $kK *3!J=  
"gcYE1{PG  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] /;4 F E"  
tt8zFNS  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) EaV\H:LwE  
B&Q[YXUKW  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) *"vn%CV g  
.CL''=  
积化和差 9Y<m)F!cIQ  
66xC;Sa  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] R crDm#G  
6,h}Niw^  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ]dVJiiHxy  
%&q22uP^  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ibkZTrm  
is00u  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Gg8,)fJ7t  
xdPgj2  
诱导公式 q<2ANn;]@  
9rB34gaW  
　　sin(-α) = -sinα Kvb&gw _HW  
yLKfE4j  
　　cos(-α) = cosα pU#:B(b  
p%eQm`^+0  
　　sin(π/2-α) = cosα ;Z?*"qUM  
ef\l# O  
　　cos(π/2-α) = sinα s3<6n }d  
)&I {~5@w  
　　sin(π/2+α) = cosα )m{a"~6  
~;p $qyl|  
　　cos(π/2+α) = -sinα M)k}K2/e  
E,*YXLLJ,  
　　sin(π-α) = sinα UvK^VJa  
Ld} a0';G  
　　cos(π-α) = -cosα WN ~b]y6  
@ 1#l=S  
　　sin(π+α) = -sinα b>UnQ3d? 9  
hm#`'  
　　cos(π+α) = -cosα Yiu8g @H>)  
@pnPRXMr  
　　tanA= sinA/cosA 2w}Us-  
N/B(lGFe^  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα |Bxe-ujt  
_{so bIi  
　　tan（π/2－α）＝cotα ~?ie )Ex  
e^_*_,5d  
　　tan（π－α）＝－tanα e07 xB  
84 Q b  
　　tan（π＋α）＝tanα +nr;B  
KUf"iy  
万能公式 oljP1wMUW  
7,6bfA&$]  
　　 &Y'ESj)N6  
(Kmqu4 _)  
其它公式 1i2 J~!cD  
|9>>2V#.  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 '=rII|9Ce  
vn!d[scZ+  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 C3.4n4pa  
02 -1E 7  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 pE!E)PXEL3  
fc 8HGCa  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 l>9!~LS`$  
yZ0GSZGn  
　　对于任意非直角三角形,总有 D%~#~K<'  
&03ez]#\  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC uhR|u}Z^\  
;XBEEUvJ  
　　证: JdeZ-C^  
?cO!4F z  
　　A+B=π-C ?'EFgM@[i  
q30YI&*$&  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 8hf 65;  
7_j8<4 P(  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ?hvvUQ@xW  
{? h'f-0f~  
　　整理可得 3"&Mw$9V  
:%t)2Y*  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 7id^-lg<  
|zUEciJ$  
　　得证 j U=PmJx  
w1 Xfer7+  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ,De_5y's  
V=/%rz_  
其他非重点三角函数 Ss XmZI~lm  
Y| N(J"ci  
　　csc(a) = 1/sin(a) Hks8]4mU+  
~@~@s/zUSF  
　　sec(a) = 1/cos(a) z;d9!QC`w  
B]b8up A  
　　 >=]k3pR(  
.$4\4_s  
双曲函数 /HMQfw;[@  
:EbV q  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 fCrXQCgA  
gvwA2t?8  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 :d_KIy!  
CfQ:H6%)  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Oji2DxAq  
UeNST$ Z  
　　公式一：  Y=8  
4[cDcO3|  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： !&3+oI4  
_8:!Q)K#/k  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ^;.S< EM  
lQ ))e!|  
　　cos（2kπ＋α）= cosα $|]!te>  
 C_aM 5  
　　tan（kπ＋α）= tanα PhU&zt  
AC) lQ((  
　　cot（kπ＋α）= cotα P\M6\Kd.5  
D&B29|?*  
　　公式二： 'C9P:v  
0CB2)(8Uw+  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： Tm^;e2?9  
C<6JX!c]  
　　sin（π＋α）= -sinα v yD[1b  
W40u c  
　　cos（π＋α）= -cosα `\M02o  
 ,FiB7J>'  
　　tan（π＋α）= tanα K9u#2:O!m  
XBJ?z@*  
　　cot（π＋α）= cotα &0~2x7s3O  
8.}s$t(Pi  
　　公式三： zDwP*LUiu  
0 {N*@&f  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： lM#$ksN6?  
ffDwLzXw  
　　sin（-α）= -sinα h I9~]  
uI}/1h  
　　cos（-α）= cosα aO `:5nNg  
5tECI2  
　　tan（-α）= -tanα V&@,OM b[  
}~]pnC6#F]  
　　cot（-α）= -cotα ~=_EW\O0;%  
*dx"~8c  
　　公式四： o7Dky>N/  
6Ye%_HN^6  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： @aoEaT4I  
e=3$q``_\  
　　sin（π-α）= sinα s{?V\giUH  
>NvoO} <  
　　cos（π-α）= -cosα ])7O4.s  
g 8F,tVc  
　　tan（π-α）= -tanα zgOgzvwDH  
70P#<Tw{d  
　　cot（π-α）= -cotα DaWNBS,  
A)[l~)sD)!  
　　公式五： y:`!'YG  
m(vnVB6n  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： [XUe 5}  
>XD];6N  
　　sin（2π-α）= -sinα 7aTQ> `Y  
Da`-Uo  
　　cos（2π-α）= cosα FSuH9"&-  
`E { eH  
　　tan（2π-α）= -tanα Bj2U5W:  
w [Jq-E*5z  
　　cot（2π-α）= -cotα .Y<xyd,i  
1`'a3y  
　　公式六： u Vb5[;  
L{HMpuIXm  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： !s6Q C  
7ZK|g%m  
　　sin（π/2+α）= cosα Bc%KGDu;{/  
X{@luk x  
　　cos（π/2+α）= -sinα v1;3<$  
SOrn5 (Pn  
　　tan（π/2+α）= -cotα K"j/~Ozx  
d,i1X g"y  
　　cot（π/2+α）= -tanα _FIi` u  
{K-][$h:_  
　　sin（π/2-α）= cosα ]PWC9e  
VxM+ XH<{#  
　　cos（π/2-α）= sinα ~A x|(a*  
%tPooob  
　　tan（π/2-α）= cotα Kq2tNM `er  
C}Tg<?5y  
　　cot（π/2-α）= tanα P:Dp'u}J  
MH,X?z |  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ]@s=rDXx  
k@qZ~$2v  
　　cos（3π/2+α）= sinα cZ7"tO?  
`V,/P(aj  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ;.D`B  
&#1\n{K!  
　　cot（3π/2+α）= -tanα x*Snr--  
t.jO%.CK+  
　　sin（3π/2-α）= -cosα t.u]z%G6{  
a)#;I.Er  
　　cos（3π/2-α）= -sinα += \O  
V6$l^k>Qt  
　　tan（3π/2-α）= cotα `=NzWl)_9  
U#W1U[r  
　　cot（3π/2-α）= tanα -<)!:vR  
6f}sujKVt[  
　　(以上k∈Z) Updld$ 4  
3Pi9g04P_l  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 6Sbl:( a  
%H)V#?P  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = bV6%Q}|  
B`Re~*c  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } k)z |aOOr4  
KS3,,VH  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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