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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 HM/x;2L~  
mj}l>5PJ~  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. uB="b'F  
2N3^0yrEK  
　　1、三角函数本质： 6W<hYasz  
$Sm`K@^I  
　　三角函数的本质来源于定义 BeXaw.E@  
\v8e/zRpM  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 ^{ vq+Xd;N  
?G#*qq[h"V  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 WoM% @kh  
p= nHaRE  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 9>idhY  
@{;\!I;  
　　推导： I|gH5q[V  
wT)tFZ'^C  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 []1G;_np1v  
F Wkl {0:3  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ?6U+PA  
9PE03.9P  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) W=Xh["(:  
:8B_V^p 0  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 Rfw|:9Hq'  
Nr6SqgWZ  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） |,YReC  
g )5D#"$e  
　　[1] '" 7Na5o f  
{'hIQ\]@  
　　两角和公式 n0k(mvc*  
}Lm\}p@z  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB )m.f@7  
LS!!Mmm  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  0sA_7@  
p9[c/abfqC  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 8Ec9^  
i*tAw0 Q  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Y|$\K e  
r=n>hd)G  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) .2!C1\\\  
fm>.S5V=  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) w20CQMSnz7  
wXtCfI1%V  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)   cxA=  
o iKEEn}  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) cpg Bn  
HQ r3371  
倍角公式 V4v(K.  
;t^_xK,\  
　　Sin2A=2SinA•CosA zpEPGSxLEM  
Y4I1}sG(c  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 B>'|e>  
m>1;0usm  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） r66vKm@3s  
2'A97V1l?  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） {X%%`q1  
[;d=m$m  
三倍角公式 #s(2kg  
h LvCd6rm  
　　 %^fL(L, A  
rt$09NBAp  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) N^uIH5<$+Y  
$ S,q#  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) arO$}1M  
xLJmz4vw  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) )p_|zgyryJ  
Z|W T   
三倍角公式推导 1 G3Pm  
! 'tV{'  
　　sin3a ~u(&Q  
dR:31 P%4  
　　=sin(2a+a) YFRZvmI  
)>N;h{ s{  
　　=sin2acosa+cos2asina ;%6u  
C M2W  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina b`U`:le  
^Je,;m4t  
　　=3sina-4sin³a %0ypRr8  
:e-uWLSf  
　　cos3a $db@:;tx"}  
Ne$VPzw Y  
　　=cos(2a+a) u_Ec_5p4K  
6$TEDHC~  
　　=cos2acosa-sin2asina [?m %p  
0c __]5jD8  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa D~H?K!  
Gz:OZ0W  
　　=4cos³a-3cosa IHKWJG-  
$vmVO5*Rq&  
　　sin3a=3sina-4sin³a 9\sm2%yY9  
}j,{bI C  
　　=4sina(3/4-sin²a) ^b+[qz  
.L"NNEM"  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] togp2  
1TqMT}F*&  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 6dmDk n  
5R}wuIA  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) \b.bP;C6  
TK}= }N  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] %".W]r  
7z2Y]k987  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) <U"*ptG  
LY+" |\  
　　cos3a=4cos³a-3cosa IP.o<Ck%  
;}+9I9xK]4  
　　=4cosa(cos²a-3/4) 3<}I+9H%R  
IKX5.7v[w  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] o$VN|B  
/+"hr^`)C  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) :?_<@KZ.6  
mr #QqQ  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 6kxJn\  
z @B%~:v  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ObJ@   
p:(oib}/  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) H!;y4LH?  
kh6la_| N  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] }=d)jeS  
al 75 Srf7  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] .dc=Jn+B  
8#d=We  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) O$3=?/  
>li'5sjR<  
　　上述两式相比可得 rKHL  
.C$Bwspzv  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) B H8?'>t  
Ey:MH;5:  
半角公式 RNbAe^m  
M8*#eb:  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); VtXcjg  
r% fwM&g  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. xE??L& Oe  
826P'hw~  
和差化积 ^U>hglKe.  
*s opPI  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ' }N!d  
`>Yv@h& d  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] l)-C/XkO.s  
3$v(HLeJ  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] g# >*<#  
DB9y6AcW  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] :\ ZR(Xl  
2b3168  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) C^Y@pGV}*  
~9'f0cO{>  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) B0?m*\[?P  
m1G$Ox  
积化和差 oR/;SpI  
cTz`I Y  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] vOn .{#  
bMes (  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ZC,mFm[A  
*]'+asLg  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] y 3? Cr  
Ar\ aA  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] :aF.V}^7b  
B%;zseSE  
诱导公式 MY&VOf.  
-Pf4U i.  
　　sin(-α) = -sinα :NsK}U.@v  
b3Y3%~Ho/  
　　cos(-α) = cosα #p=E\1>  
PLiE y  
　　sin(π/2-α) = cosα Ms3[e: 1n  
4 98RYX3h  
　　cos(π/2-α) = sinα -i,O* E(  
SxE<+d  
　　sin(π/2+α) = cosα U "0P:L  
x?|-N4/f  
　　cos(π/2+α) = -sinα 8%mi9  
Q:9w |>LKr  
　　sin(π-α) = sinα .Ff! 0BF  
R6Y^%psU  
　　cos(π-α) = -cosα bZtC%c6i&  
;bh/_[)8.  
　　sin(π+α) = -sinα 6sMMZv2  
%M> bk 9~  
　　cos(π+α) = -cosα GY aD(>U\f  
|J29-6IJ  
　　tanA= sinA/cosA z#aYW`dthG  
S0gANl  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα c/==hR2sy  
QnlT^Q&]  
　　tan（π/2－α）＝cotα B'/ Yru`  
n^*!X5yXh  
　　tan（π－α）＝－tanα wG3CNH )  
h & 7O  
　　tan（π＋α）＝tanα 7^Df}y~eZ  
x(pkO<  
万能公式 n=3\7{PE  
aAH`u:  
　　 #)9!z+c=C  
jq.eaE>X  
其它公式 m#? NJ$#  
`JU!CmqX  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 }nX o7}]D  
LvC1A++o3  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 )<qO 5{$  
$NXNaM\  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 4l"a3.C,D\  
b/Iux88O:  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 IF`" Pry  
D8Sd~wg&  
　　对于任意非直角三角形,总有 W/&"3$| I_  
9$4[SPj  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 4bw\*rVt  
^ F,#,K!V  
　　证: !M{::5e^@  
zu27Q%ke_  
　　A+B=π-C P)Pk+m j  
L-OAA>c  
　　tan(A+B)=tan(π-C) s ^jck-zW  
s=i8y*^|)  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) r')<#xAOk  
j"E| jk  
　　整理可得 Ev&|%_in  
d\\y!^]y_  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC UB0m  
E(aXA\@  
　　得证 P2{n[ZB  
$"O_I)iSF  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 6}n7} i`s  
7RX,9  
其他非重点三角函数 X |%jJ  
@>"X3Ft  
　　csc(a) = 1/sin(a) 7l}]*_N|%  
5;$CyyhJ!  
　　sec(a) = 1/cos(a) M a=WR<|'  
([#uz~(if  
　　 "C[#Wm_  
J>Y5i@;;R  
双曲函数 Ic{S"O2lq  
6stPvaz?  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 0(\q6D=Y*N  
ng];rvx  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 T  n#O  
gZz~J*acs  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) &mE}n{Eq.  
XI: |&0FVl  
　　公式一： Y 9<cWk#!6  
nu)7CA!7  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： a9GpA:U  
kb'kL|[  
　　sin（2kπ＋α）= sinα Eanmhd'O  
#?'6]  
　　cos（2kπ＋α）= cosα  4 B`3  
quRf|.Xc  
　　tan（kπ＋α）= tanα 6K[2a,!  
t+H>Boqn  
　　cot（kπ＋α）= cotα b{EO&  
v8<v7CGV  
　　公式二： %ANP{8qJ|  
kA%!%8T_@F  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： f 6!zRQ)9  
!OG%. AY  
　　sin（π＋α）= -sinα f;x,X&)O  
&\o?R4Q  
　　cos（π＋α）= -cosα 4W`'^*4Z  
vBe%"%w%  
　　tan（π＋α）= tanα ~U#qmB >  
j <d#NH  
　　cot（π＋α）= cotα $uVB(hF  
IQY>$j  
　　公式三： 7 -2QE  
x+#<p$vH  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ==u@R'y  
1$r:2.'%~w  
　　sin（-α）= -sinα {m 1XsW&n  
r-(E)r*)O`  
　　cos（-α）= cosα BzMm  
whnpNc-f  
　　tan（-α）= -tanα 9y$] b  
qH[kAf7Jj  
　　cot（-α）= -cotα ^]VzG 3  
CTX:!x#]  
　　公式四： ,u| aJT7t~  
F}(H>$;)v  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： C` EOMJ  
k'vW5D n@  
　　sin（π-α）= sinα :{k`@dO)H  
C 4"prk0  
　　cos（π-α）= -cosα yT#<T}  
2mVFsjuC|  
　　tan（π-α）= -tanα c9MKc  
9'`P+9a/  
　　cot（π-α）= -cotα 4$"%#T U)E  
8COe wg5<  
　　公式五： !K D6  
)uOIZf#|d  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： T'7Vk%k`  
ckWrUp"N  
　　sin（2π-α）= -sinα ^2]a<NUw  
BJ?_7zK  
　　cos（2π-α）= cosα _ WPwZ8ix  
+nZeC  
　　tan（2π-α）= -tanα 9,H"%3:`  
 )3yeG'  
　　cot（2π-α）= -cotα Sn6*6Ld  
Y*]j#G}IC  
　　公式六： zh|[fhP  
vl'`nY~v;  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： JVm>/ W  
+ {,1@)  
　　sin（π/2+α）= cosα r=)avJV2R  
J+honZmv  
　　cos（π/2+α）= -sinα 5MXa*ho  
G}>u ~t#,[  
　　tan（π/2+α）= -cotα ~5khr  
_ O|`Aq#  
　　cot（π/2+α）= -tanα {$!Bu$'$  
dTrc/INn7  
　　sin（π/2-α）= cosα AI4$t  
,\ 4(s+zy  
　　cos（π/2-α）= sinα v0*ta  
ja@!7)-  
　　tan（π/2-α）= cotα qF^wCxbx  
+zZ?!k4k  
　　cot（π/2-α）= tanα gJQ__:|  
gKX?Q  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 5B-[  
lY)}2k_+C  
　　cos（3π/2+α）= sinα x v( b@  
%TB{ YR>  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ;r(-PxMPv  
*\9@2uB"N  
　　cot（3π/2+α）= -tanα qFYZ0 p.  
u/m-%fn}  
　　sin（3π/2-α）= -cosα y ."/fn  
r{6ijQ_C  
　　cos（3π/2-α）= -sinα vvRb17~  
Y;)t}gi} n  
　　tan（3π/2-α）= cotα +a9CwN  
vP1CZ0  
　　cot（3π/2-α）= tanα BY 2ogn< #  
1w p[&  
　　(以上k∈Z) .kWLf LN  
K}VA`Xv:L  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Z ~s4#$~  
*kq~x D  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = T<FM5r'  
[Y*b?SDR  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 3r<?'/S{!  
[/hCQnIE  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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